#開源軟件# 。用有限元軟件Freefem 和工程作圖軟件 Tecplot 來完成有限元中偏微分方程求解。該有限元軟件只需要寫出有限元的變分形式，利用 自身的命令函數(shù)，即可實(shí)現(xiàn) C 語言或者 Matlab 編制的數(shù)百行代碼的功能。FreeFem 軟件是一款數(shù)值求解偏微分方程的有限元軟件。它是一款免費(fèi)的軟件，完全可以直接在http://www.freefem.org這個(gè)網(wǎng)站上下載安裝包，并自帶教程。很容易通過教程編制 FreeFem 有限元程序來數(shù)值求解偏微分方程。FreeFem 不是一個(gè)工具包，而是一個(gè)完整的有限元產(chǎn)品，具有內(nèi)存需求少、計(jì)算速度快、易學(xué)好用、功能強(qiáng)大、應(yīng)用面廣等特點(diǎn)。

real m = 50; / / 設(shè)置網(wǎng)格尺度

meshTh=square(m，m);//生成一致網(wǎng)格 fespaceXh(Th，P2);//定義速度的有限元空間 fespaceMh(Th，P1);//定義壓力的有限元空間 Xhu1，u2，v1，v2，ooldu1，ooldu2;//聲明試探函數(shù)和檢驗(yàn)函數(shù)

Mhp，q;//聲明壓力的試探函數(shù)和檢驗(yàn)函數(shù)

realepsi=1e－6，TOL=1，n1;//定義相關(guān)的參

數(shù)

ofstreamout(“theFEforStokes．txt”);//定義計(jì)算結(jié)果輸出到的 TXT 文件

solveStokes(［u1，u2，p］，［v1，v2，q］)=//定義偏微分方程，即變分形式

int2d( Th) ( dx ( u1 ) * dx ( v1 ) dy ( u1 ) * dy ( v1) dx( u2) * dx( v2) dy( u2) * dy( v2) / / a (u，v)

－p*(dx(v1) dy(v2))//b(v，p)

q*(dx(u1) dy(u2)))//b(u，q)

on(1，2，3，4，u1=0，u2=0) on(3，u1=1，u2

= 0) ; / / 定義邊界條件

plot(［u1，u2］，ps=“u1u2．eps”);

plot(p，ps=“p．eps”);//計(jì)算結(jié)果的可視化

這樣就完成了采用 FreeFem 軟件求解的全部過程。

使用該軟件進(jìn)行編程、數(shù)值求解偏微分方程時(shí)，只需要寫出原偏微分方程的變分問題即可，無需進(jìn)行單元局部和總體的編號、單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧奢d向量的計(jì)算、總剛度矩陣和總荷載向量的組成、有限元線性方程組的求解等具體過程。采用“fespaceXh (Th，P2)”和“fespaceMh(Th，P1)”這段語句就完成了有限元空間的定義，并且使用“int2d( Th) ”這個(gè)命令就實(shí)現(xiàn)了數(shù)值積分的功能。寥寥數(shù)行即完成了對Stokes方程第一類邊值問題的有限元求解。對比使用 C或者 Matlab編程需幾百行的代碼，F(xiàn)reeFem 程序大大節(jié)約了編程時(shí)間。

但是， FreeFem 自帶的畫圖命令plot，所顯示的圖形并不完善。左圖對速度的作圖已經(jīng)超出了邊框; 右圖壓力的結(jié)果表示也不豐滿。一種工程上的作圖軟件來克服 FreeFem 自帶畫圖功能的缺陷。

基于 Tecplot 的可視化顯示方法。主要是根據(jù)一個(gè)數(shù)據(jù)文件來實(shí)現(xiàn)

可視化操作，最終完成數(shù)值結(jié)果的工程作圖。在 Freefem 程序的后面增加以下代碼，使有限元數(shù)值結(jié)果輸出成一個(gè)數(shù)據(jù)文件。這里需要兩個(gè)文件，一個(gè)存儲壓力，另一個(gè)存速度數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)輸出代碼如下:

ofstreamffu(“UV_new．dat”);//定義速度的存

儲文件名

ofstreamffp(“P_new．dat”);//定義壓力的存

儲文件名

ffp＜＜“Variables=”＜＜“X”＜＜“，”＜＜

“Y”＜＜“，”＜＜“P”＜＜endl;//壓力結(jié)果及對應(yīng)

坐標(biāo)

ffp＜＜“Zone”＜＜“”＜＜“N=”＜＜Th．nv＜

<“，”＜＜“E=”＜＜Th．nt＜＜“，”

＜＜“F=FEPOINT，ET=TRIANGLE”＜＜

endl;//輸出單元局部編碼和整體編碼的對應(yīng)關(guān)系ffu＜＜“Variables=”＜＜“X”＜＜“，”＜＜“Y”＜＜“，”＜＜“u”＜＜“，”＜＜“v”＜＜endl;

//速度結(jié)果及對應(yīng)坐標(biāo)

ffu＜＜“Zone”＜＜“”＜＜“N=”＜＜Th．nv＜

＜“，”＜＜“E=”＜＜Th．nt＜＜“，”

＜＜“F=FEPOINT，ET=TRIANGLE”＜＜

endl;

inti，j;

for(i=0;i＜Th．nv;i )//具體輸出每個(gè)單元上的速度結(jié)果及對應(yīng)坐標(biāo)

{ffp＜＜Th(i)．x＜＜“”＜＜Th(i)．y＜＜“”

＜＜p(Th(i)．x，Th(i)．y)＜＜endl;

ffu＜＜Th(i)．x＜＜“”＜＜Th(i)．y＜＜“”

＜＜u1(Th(i)．x，Th(i)．y)＜＜“”＜＜u2(Th

(i)．x，Th(i)．y)＜＜endl;

}

for(i=0;i＜Th．nt;i )//具體輸出每個(gè)單元的局部編碼

{for(j=0;j＜3;j )

{ffu＜＜Th［i］［j］ 1＜＜“”;ffp＜＜Th［i］［j］ 1＜＜“”;

}

if(j==3)

{ffu＜＜endl;ffp＜＜endl;

}

}

這樣就得到了兩個(gè)數(shù)據(jù)件“UV_new．dat”和“P_new．dat”。再利用Tecplot做圖軟件，進(jìn)行一系列的可視化操作，就可以得到的有限元方法數(shù)值解。

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